Скалярное произведение векторов

В учебнике Л.С. Атанасяна скалярное произведение векторов определяется как произведение модулей векторов па косинус угла между ними, а затем доказывается теорема о том, как можно выразить скалярное произведение через координаты векторов. В учебнике Погорелова определением является утверждение о выражении скалярного произведения через координаты векторов, а справедливость формулы

= | | || соs,

где - угол между векторами и доказывается.

Целесообразно обратить внимание учеников на то, что в качестве определения можно рассматривать и то утверждение, которое в этом учебнике сформулировано в виде теоремы. В этом случае утверждение, являющееся здесь теоремой, надо доказать. Это поможет сформировать понимание того, что одно и то же утверждение в одном курсе может быть определением, в другом - теоремой, что утверждение, которое является аксиомой в одном курсе, может быть теоремой в другом.

В обоих рассматриваемых учебниках доказательство теоремы, эквивалентной определению скалярного произведения, весьма искусственны. Но в учебнике Погорелова, кроме того, в его основе лежат идеи, которые прежде в этом курсе не встречались. Обеспечить понимание и, тем более, усвоение этих идей, как мне кажется, потребовало бы слишком много времени. Поэтому никаких методических рекомендаций в данном случае дать не удается. При работе по учебнику Л.С. Атанасяна соответствующее доказательство может быть получено в результате извлечения информации из условия и из заключения.

Проверяя готовность учеников к знакомству с теоремой о выражении скалярного произведения двух векторов через их координаты, полезно предложить записать теорему, рассматривающую выражение, очень похожее на значение скалярного произведения. Естественно, это теорема косинусов. Например, равенство включает выражение АСВСсоsС, похожее на скалярное произведение векторов АС и ВС (АС =| АС |, ВС =| ВС|, соsС это - косинус угла между векторами СА и СВ).

АВ2 = АС2 + ВС2 - 2АС ВС соsС

При доказательстве соответствующей векторной теоремы рассмотренная задача может подсказать идею поиска доказательства, если векторы неколлинеарные: отложить рассматриваемые векторы от одной точки (рис.4) и применить к модулям векторов теорему косинусов.

СА = , СВ = , АВ = АС + СВ.

АВ = - С А + СВ; АВ = - .

ÐС = ,

где - угол между векторами и . Равенство АВ2 = АС2 + ВС2 - 2АС ВС соsС теперь можно записать так:

(-) 2 = 2+ 2 + 2 соs.

К этому времени ученики уже должны уметь выражать разность векторов и. скалярные квадраты векторов через их координаты. Это позволяет выразить через координаты векторов их скалярное произведение.

Информация о ообразовании:

Понятие наглядности
Понятие наглядности в современном образовании анализируется нередко с различных точек зрения (объект, свойство, деятельность). Источником споров и расхождений является при этом не столько терминологическая несогласованность, сколько различия во взглядах на роль и место наглядности в познавательной ...

Факторы орфографической зоркости как шаг к грамотному письму
Существует множество методических приемов, позволяющих предупредить ошибки, развивающих орфографическую зоркость, навык звукобуквенного анализа, самоконтроль. Еще методисты прошлого считали, что существуют факторы и условия, способствующие формированию грамотного письма. Современная наука не отрица ...

Одаренный ребенок в семье
Кому из родителей не хотелось бы, чтобы их ребенок оказался одаренным, вырос умным, способным? Многие родители замечают у своих малышей незаурядные умственные достоинства: познавательные интересы, остроумие, прямо-таки взрослость некоторых их суждений. И при этом каждый отмечают повышенную умственн ...

Категории

• Главная
• Патриотическое воспитание школьников
• Педагогика лицейского образования
• Дошкольная педагогика как наука
• Основные категории педагогики
• Социальная педагогика
• Методы обучения и система образования
• Статьи по педагогике